Оператор Лапласа - дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом. Функции F он ставит в соответствие функцию

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.

Градиент-- вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста в этом направлении. Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами, где - некоторая скалярная функция координат x,y,z.

Если - функция n переменных то ее градиентом называется n-мерный вектор

Компоненты которого равны частным производным по всем ее аргументам. Градиент обозначается grad, или с использованием оператора набла,

Из определения градиента следует, что:

Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат x i, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx -- это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе.

Таким образом, выражение (вообще говоря -- для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

Или опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

Дивергенция -- дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее -- насколько расходятся входящий и исходящий поток).

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

дивергенция -- это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, применённый к полю F, обозначают как или

Определение дивергенции выглядит так:

где ФF -- поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю. Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).

таким образом значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля gradF в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя.

лапласиан,- дифференциальный оператор определяемый формулой

(здесь - координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2-го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе, математич. физике и геометрии (см., напр., Лапласа уравнение, Лапласа - Бельтрами уравнение, Гармоническая функция, Гармоническая форма ).

Пусть Месть n-мерное риманово пространство с метрикой

пусть - матрица, обратная к матрице Тогда Л. о. (или оператор Лапласа - Бельтрами) римановой метрики (2) на Мимеет вид

где - локальные координаты на М. Оператор (1) отличается знаком от Л. о. стандартной евклидовой метрики

Обобщением оператора (3) является Л. о. на дифференциальных формах. Именно, в пространстве всех внешних дифференциальных форм на МЛ. о. имеет вид

где d - оператор внешнего дифференцирования формы, d* - формально сопряженный к dоператор, определяемый с помощью следующего произведения на гладких финитных формах:

где * - оператор Ходжа, порожденный метрикой (2) и переводящий р-формы в ( п-р )-формы. В формуле (5) формы a и b считаются действительными, на комплексных формах нужно использовать эрмитово продолжение скалярного произведения (5). Сужение оператора (4) на О-формы (т. е. функции) задается формулой (3). На р-формах при произвольном целом Л. о. в локальных координатах записывается в виде

Здесь - ковариантные производные по

Тензор кривизны, - тензор Риччи. Пусть дан произвольный эллиптич. комплекс

где Е р - действительные или комплексные расслоения на многообразии М, Г ( Е р ) - пространства их гладких сечений. Введя в каждом расслоении Е р эрмитову метрику, а также задав произвольным образом элемент объема на М, можно определить эрмитово скалярное произведение в пространствах гладких финитных сечений расслоений Е р. Тогда определены операторы d*, формально сопряженные к операторам d. По формуле (3) строится Л. о. на каждом пространстве Г( Е р ). Если в качестве комплекса (6) взять комплекс де Рама, то при естественном выборе метрики в р-формах и элемента объема, порожденных метрикой (2), получается в качестве Л. о. комплекса де Рама описанный выше Л. о. на формах.

На комплексном многообразии Мнаряду с комплексом де Рама имеются эллиптич. комплексы

где - пространство гладких форм типа ( р, q ).на М. Вводя эрмитову структуру в касательном расслоении на М, можно построить Л. о. (4) комплекса де Рама и Л. о. комплексов (7), (8):

Каждый из этих операторов переводит в себя пространство Если М - кэлерово многообразие, а эрмитова структура на Миндуцирована кэлеровой метрикой, то

Важным фактом, определяющим роль Л. о. эллиптич. комплекса, является существование в случае компактного многообразия Мортогонального разложения Ходжа:

В этом разложении где - Л. о. комплекса (6), так что - пространство "гармонических" сечений расслоения Е р (в случае комплекса де Рама - это пространство всех гармонических форм степени р). Прямая сумма первых двух слагаемых в правой части формулы (9) равна а прямая сумма двух последних слагаемых совпадает с В частности, разложение (9) задает изоморфизм пространства когомологий комплекса (6) в члене и пространства гармонич. сечений

Лит. : Рам Ж. д е, Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976. М. А. Шубин.

- интеграл движения точки постоянной массы mв поле потенциала Ньютона - Кулона L= - момент импульса - определяет плоскость орбиты, а совместно с интегралом энергии - ее конфигурацию...
Математическая энциклопедия
- 1) Интеграл вида осуществляющий интегральное Лапласа преобразование функции f.действительного переменного t, в функцию F.комплексного переменного р. Был рассмотрен П. Лапласом в кон. 18- нач. 19 вв....
Математическая энциклопедия
- асимптотических оценок - метод вычисления асимптотики при l>...
Математическая энциклопедия
- последовательность конгруэнции в трехмерном проективном пространстве, в к-рой каждые две соседние конгруэнции образованы касательными к двум семействам линий сопряженной сети одной поверхности...
Математическая энциклопедия
- трансформация Лапласа, - в широком смысле - интеграл Лапласа вида где интегрирование производится по нек-рому контуру Lв плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f...
Математическая энциклопедия
- установленная П. Лапласом зависимость капиллярного давления Рq от ср. кривизны поверхности е раздела граничащих фаз и поверхностного натяжения q: Рq = еq....
- линейный дифференц. оператор, к-рый ф-ции ф ставит в соответствие ф-цию Встречается во мн. задачах матем. физики. Ур-ние дельта ф = 0 наз. Лапласа уравнением...
Естествознание. Энциклопедический словарь
- один из осн. законов капиллярных явлений. Согласно Л. з., разность р0 гидростатич...
- линейный дифференц...
Большой энциклопедический политехнический словарь
- Приморской области, Южно-Уссурийского края, на побережье Сев.-Японского моря, между мысами Авсеенко и Дурынина, севернее бухты Шхадгоу...
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
- геодезический азимут А направления на наблюдаемую точку, полученный по его астрономическому азимуту α, исправленному с учётом влияния отклонения отвеса в пункте наблюдения...
- космогоническая гипотеза об образовании Солнечной системы - Солнца, планет и их спутников из вращающейся и сжимающейся газовой туманности, высказанная П. Лапласом в 1796 в популярной книге «Изложение...
Большая Советская энциклопедия
- зависимость перепада гидростатического давления Δp на поверхности раздела двух фаз от межфазного поверхностного натяжения σ и средней кривизны поверхности ε в рассматриваемой точке: Δр=р1- р2= εσ, где p1 -...
Большая Советская энциклопедия
- лапласиан, дельта-оператор, Δ-оператор, линейный дифференциальный Оператор, который функции φ от n переменных x1, x2,.....
Большая Советская энциклопедия
- установленная П. Лапласом зависимость????? - капиллярного давления?? от средней кривизны E поверхности раздела граничащих фаз и поверхностного натяжения?...
- ЛАПЛАСА оператор - линейный дифференциальный оператор, который функции? ставит в соответствие функциюВстречается во многих задачах математической физики. Уравнение???0 называется Лапласа уравнением...
Большой энциклопедический словарь

"ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР" в книгах

Отставка Лапласа

Из книги Лаплас автора

НАСЛЕДИЕ ЛАПЛАСА

Из книги Лаплас автора Воронцов-Вельяминов Борис Николаевич

Сахар Лапласа

Из книги Истории давние и недавние автора Арнольд Владимир Игоревич

Сахар Лапласа История Ф. Араго: в юности попал в плен к пиратам, потом выкуплен (каким-то англичанином в Египте?), вернувшись, стал активнейшим учёным, работал с Ампером и в оптике. Его выдвинули в Академию наук. Кандидат (до сих пор) должен посетить всех голосующих и

Принцип Лапласа

Из книги Как далеко до завтрашнего дня автора Моисеев Никита Николаевич

Принцип Лапласа В конечном счете, я не стал верующим, но и не превратился в атеиста. Мне казалось, что любые категоричные утверждения в этой сфере, лежащей на границе разума и эмоций – неуместны. Недоказуемо всё. Никакая логика не поможет в решении этого вечного вопроса.

Демон Лапласа

Из книги Больше, чем вы знаете. Необычный взгляд на мир финансов автора Мобуссин Майкл

Демон Лапласа 200 лет назад в науке господствовал детерминизм. Воодушевленные открытиями Ньютона, ученые рассматривали вселенную как часовой механизм. Французский математик Пьер Симон Лаплас хорошо выразил суть детерминизма в своем знаменитом труде «Опыт философии

43. Демон, Лапласа

Из книги Философ на краю Вселенной. НФ–философия, или Голливуд идет на помощь: философские проблемы в научно–фантастических фильмах автора Роулендс Марк

43. Демон, Лапласа Гипотетическое сверхсущество, обладающее исчерпывающими знаниями о состоянии Вселенной и способное на основе этого точно предсказывать будущие изменения. Вспомните хотя бы пролов из «Особого мнения»: если бы они могли видеть не только грядущие

Лапласа азимут

БСЭ

Лапласа гипотеза

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ЛА) автора БСЭ автора Мейерс Скотт

Правило 52: Если вы написали оператор new с размещением, напишите и соответствующий оператор delete Операторы new и delete с размещением встречаются в C++ не слишком часто, поэтому в том, что вы с ними не знакомы, нет ничего страшного. Вспомните (правила 16 и 17), что когда вы пишете такое

1. Оператор Select – базовый оператор языка структурированных запросов

Из книги Базы данных: конспект лекций автора Автор неизвестен

1. Оператор Select – базовый оператор языка структурированных запросов Центральное место в языке структурированных запросов SQL занимает оператор Select, с помощью которого реализуется самая востребованная операция при работе с базами данных – запросы.Оператор Select

15.8.2. Оператор размещения new() и оператор delete()

Из книги C++ для начинающих автора Липпман Стенли

15.8.2. Оператор размещения new() и оператор delete() Оператор-член new() может быть перегружен при условии, что все объявления имеют разные списки параметров. Первый параметр должен иметь тип size_t:class Screen {public:void *operator new(size_t);void *operator new(size_t, Screen *);// ...};Остальные параметры

Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции : texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad} , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \operatorname{grad}F в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2 , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен .

Другое определение оператора Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f (x) имеет в окрестности точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ x_0 непрерывную вторую производную Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f""(x) , то, как это следует из формулы Тейлора

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f(x_0+r)=f(x_0)+rf"(x_0)+\frac{r^2}{2}f""(x_0)+o(r^2), при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f(x_0-r)=f(x_0)-rf"(x_0)+\frac{r^2}{2}f""(x_0)+o(r^2), при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r\to 0,

вторая производная есть предел

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f""(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{2}-f(x_0) \right\}.

Если, переходя к функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc от Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0) рассматривать её Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ k -мерную шаровую окрестность Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ Q_r радиуса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ r и разность между средним арифметическим

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma

функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F на границе Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ S_r такой окрестности с площадью границы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \sigma(S_r) и значением Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F(M_0) в центре этой окрестности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc , то в случае непрерывности вторых частных производных функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F в окрестности точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ M_0 значение лапласиана Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \Delta F в этой точке есть предел

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}F(M)d\sigma -F(M_0) \right\}.

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F , имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\}, где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \omega(Q_r) - объём окрестности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ Q_r.

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в .

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F. Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): q_1,\ q_2,\ q_3 :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): =\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left(\frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left(\frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left(\frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right], где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_i\ - коэффициенты Ламе .

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ r=0 :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left(r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left(rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.

В случае если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f=f(r) в n -мерном пространстве:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.

Параболические координаты

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left(\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left(\tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Цилиндрические параболические координаты

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.

Общие криволинейные координаты и римановы пространства

Пусть на гладком многообразии Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc задана локальная система координат и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g_{ij} - риманов метрический тензор на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X , то есть метрика имеет вид

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j .

Обозначим через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g^{ij} элементы матрицы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (g_{ij})^{-1} и

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1} .

Дивергенция векторного поля Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): F , заданного координатами Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): F^i (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i} ) на многообразии X вычисляется по формуле

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i) ,

а компоненты градиента функции f - по формуле

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.

Оператор Лапласа - Бельтрами на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).

Значение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

Применение

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа , Пуассона и волновое уравнение . В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике , во многих уравнениях физики сплошных сред , а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации и обобщения

Оператор Д’Аламбера - обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений . Включает в себя вторую производную по времени.
Векторный оператор Лапласа - обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.

См. также

Напишите отзыв о статье "Оператор Лапласа"

Литература

Ссылки

Просмотр этого шаблона

Дифференциальное исчисление

Основное

Частные виды

Дифференциальные операторы
(в различных координатах)

Первого порядка

Обычное скоростное Стеллино «самоочухивание» на этот раз почему-то никак не срабатывало... Видимо, было слишком больно терять дорогих её сердцу друзей, особенно, зная, что, как бы она по ним позже не скучала, уже не увидит их более нигде и никогда... Это была не обычная телесная смерть, когда мы все получаем великий шанс – воплощаться снова. Это умерла их душа... И Стелла знала, что ни отважная девочка Мария, ни «вечный воин» Светило, ни даже страшненький, добрый Дин, не воплотятся уже никогда, пожертвовав своей вечной жизнью для других, возможно и очень хороших, но совершенно им незнакомых людей...
У меня так же, как и у Стеллы, очень болела душа, ибо это был первый раз, когда я наяву увидала, как по собственному желанию в вечность ушли смелые и очень добрые люди... мои друзья. И, казалось, в моём раненом детском сердце навсегда поселилась печаль... Но я также уже понимала, что, как бы я ни страдала, и как бы я этого ни желала, ничто не вернёт их обратно... Стелла была права – нельзя было побеждать такой ценой... Но это был их собственный выбор, и отказать им в этом мы не имели никакого права. А попробовать переубедить – у нас просто не хватило на это времени... Но живым приходилось жить, иначе вся эта невосполнимая жертва оказалась бы напрасной. А вот именно этого-то допускать было никак нельзя.
– Что будем с делать с ними? – судорожно вздохнув, показала на сбившихся в кучку малышей, Стелла. – Оставлять здесь никак нельзя.
Я не успела ответить, как прозвучал спокойный и очень грустный голос:
– Я с ними останусь, если вы, конечно, мне позволите.
Мы дружно подскочили и обернулись – это говорил спасённый Марией человек... А мы как-то о нём совершенно забыли.
– Как вы себя чувствуете? – как можно приветливее спросила я.
Я честно не желала зла этому несчастному, спасённому такой дорогой ценой незнакомцу. Это была не его вина, и мы со Стеллой прекрасно это понимали. Но страшная горечь потери пока ещё застилала мне гневом глаза, и, хотя я знала, что по отношению к нему это очень и очень несправедливо, я никак не могла собраться и вытолкнуть из себя эту жуткую боль, оставляя её «на потом», когда буду совсем одна, и, закрывшись «в своём углу», смогу дать волю горьким и очень тяжёлым слезам... А ещё я очень боялась, что незнакомец как-то почувствует моё «неприятие», и таким образом его освобождение потеряет ту важность и красоту победы над злом, во имя которой погибли мои друзья... Поэтому я постаралась из последних сил собраться и, как можно искреннее улыбаясь, ждала ответ на свой вопрос.
Мужчина печально осматривался вокруг, видимо не совсем понимая, что же здесь такое произошло, и что вообще происходило всё это время с ним самим...
– Ну и где же я?.. – охрипшим от волнения голосом, тихо спросил он. – Что это за место, такое ужасное? Это не похоже на то, что я помню... Кто вы?
– Мы – друзья. И вы совершенно правы – это не очень приятное место... А чуть дальше места вообще до дикости страшные. Здесь жил наш друг, он погиб...
– Мне жаль, малые. Как погиб ваш друг?
– Вы убили его, – грустно прошептала Стелла.
Я застыла, уставившись на свою подружку... Это говорила не та, хорошо знакомая мне, «солнечная» Стелла, которая «в обязательном порядке» всех жалела, и никогда бы не заставила никого страдать!.. Но, видимо, боль потери, как и у меня, вызвала у неё неосознанное чувство злости «на всех и вся», и малышка пока ещё не в состоянии была это в себе контролировать.
– Я?!.. – воскликнул незнакомец. – Но это не может быть правдой! Я никогда никого не убивал!..
Мы чувствовали, что он говорит чистую правду, и знали, что не имеем права перекладывать на него чужую вину. Поэтому, даже не сговариваясь, мы дружно заулыбались и тут же постарались быстренько объяснить, что же здесь такое по-настоящему произошло.
Человек долгое время находился в состоянии абсолютного шока... Видимо, всё услышанное звучало для него дико, и уж никак не совпадало с тем, каким он по-настоящему был, и как относился к такому жуткому, не помещающемуся в нормальные человеческие рамки, злу...
– Как же я смогу возместить всё это?!.. Ведь никак не смогу? И как же с этим жить?!.. – он схватился за голову... – Скольких я убил, скажите!.. Кто-нибудь может это сказать? А ваши друзья? Почему они пошли на такое? Ну, почему?!!!..
– Чтобы вы смогли жить, как должны... Как хотели... А не так, как хотелось кому-то... Чтобы убить Зло, которое убивало других. Потому, наверное... – грустно сказала Стелла.
– Простите меня, милые... Простите... Если сможете... – человек выглядел совершенно убитым, и меня вдруг «укололо» очень нехорошее предчувствие...
– Ну, уж нет! – возмущённо воскликнула я. – Теперь уж вы должны жить! Вы что, хотите всю их жертву свести на «нет»?! Даже и думать не смейте! Вы теперь вместо них будете делать добро! Так будет правильно. А «уходить» – это самое лёгкое. И у вас теперь нет больше такого права.
Незнакомец ошалело на меня уставился, видимо никак не ожидая такого бурного всплеска «праведного» возмущения. А потом грустно улыбнулся и тихо произнёс:
– Как же ты любила их!.. Кто ты, девочка?
У меня сильно запершило в горле и какое-то время я не могла выдавить ни слова. Было очень больно из-за такой тяжёлой потери, и, в то же время, было грустно за этого «неприкаянного» человека, которому будет ох как непросто с эдакой ношей существовать...
– Я – Светлана. А это – Стелла. Мы просто гуляем здесь. Навещаем друзей или помогаем кому-то, когда можем. Правда, друзей-то теперь уже не осталось...
– Прости меня, Светлана. Хотя наверняка это ничего не изменит, если я каждый раз буду у вас просить прощения... Случилось то, что случилось, и я не могу ничего изменить. Но я могу изменить то, что будет, правда ведь? – человек впился в меня своими синими, как небо, глазами и, улыбнувшись, горестной улыбкой, произнёс: – И ещё... Ты говоришь, я свободен в своём выборе?.. Но получается – не так уж и свободен, милая... Скорее уж это похоже на искупление вины... С чем я согласен, конечно же. Но это ведь ваш выбор, что я обязан жить за ваших друзей. Из-за того, что они отдали за меня жизнь.... Но я об этом не просил, правда ведь?.. Поэтому – это не мой выбор...
Я смотрела на него, совершенно ошарашенная, и вместо «гордого возмущения», готового тут же сорваться с моих уст, у меня понемножечку начало появляться понимание того, о чём он говорил... Как бы странно или обидно оно не звучало – но всё это было искренней правдой! Даже если мне это совсем не нравилось...

Оператор Лапласа

Оператор Лапласа определяется выражением

и в декартовой системе координат описывается формулой

Найдем выражение для оператора Лапласа в криволинейной ортогональной системе координат. Для этого запишем градиент и дивергенцию в криволинейной системе координат

Подставляя эти выражения в оператор Лапласа, получим

Пример 1. Найти выражение для оператора Лапласа в цилиндрической системе координат.

Замечание 1. Оператор Лапласа в полярной системе координат определяется формулой

Пример 2. Найти выражение для оператора Лапласа в сферической системе координат.

Решение. Подставляя значения коэффициентов Ламе, получим

Уравнение Лапласа

Уравнением Лапласа называют уравнение вида.

Это уравнение называют уравнением эллиптического типа. Оно часто встречается в задачах, связанных с определением потенциала различных стационарных полей. В частности, задача определения поля температур, электрического потенциала, упругих напряжений и деформаций связана с решением уравнения Лапласа. Отметим, что в математической физике изучают также уравнения гиперболического и параболического типа.

Существует много различных методов решения уравнений эллиптического типа. Среди них можно выделить метод разделения переменных, метод функции источника, теорию потенциала, метод аналитических функций и много других. Рассмотрим несколько простейших задач, не связанных с использованием специальных методов.

Цилиндрическая симметрия. Найдем решение уравнения Лапласа для функции, обладающей цилиндрической симметрией, т.е. не зависящей от полярного угла и переменной z. В этом случае уравнение Лапласа, записанное в цилиндрической системе координат, имеет вид

Частные производные здесь заменены полными. Из этого уравнения следует

где и - произвольные постоянные, которые можно найти из граничных условий.

Сферическая симметрия. Найдем решение уравнения Лапласа для функции, обладающей сферической симметрией, т.е. не зависящей от углов и. В этом случае уравнение Лапласа, записанное в сферической системе координат, имеет вид

Нетрудно найти решение этого уравнения

Решение уравнения Пуассона рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 1. Найти решение уравнения Пуассона внутри круга радиуса, если

Решение. Искомая функция обладает цилиндрической симметрией, поэтому запишем уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат в виде

Решим это уравнение

градиент криволинейный ламе дифференциальный

Постоянные и найдем из граничного условия и условия ограниченности функции. Учитывая, что, получим. Из условия получим

Следовательно, имеем окончательный ответ

Оно является частным случаем уравнения Гельмгольца. Может рассматриваться в трехмерном (1), двумерном (2), одномерном и n – мерном пространствах:

Оператор называется оператором Лапласа (Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.).

Решение уравнения Лапласа

Решениями уравнения Лапласа являются гармонические функции.

Уравнение Лапласа относится к эллиптическим уравнениям. Неоднородное уравнение Лапласа становится уравнением Пуассона.

Каждое решение уравнения Лапласа в ограниченной области G однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе области G. Если решение отыскивается во всём пространстве , краевые условия сводятся к предписанию некоторой асимптотики для f при . Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются задача Дирихле, когда на границе задано значение самой функции f, и задача Немана, когда задано значение f по нормали к границе.

Уравнение Лапласа в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Уравнение Лапласа можно записать не только в декартовых координатах.

В сферических координатах ( уравнение Лапласа имеет следующий вид:

В полярных координатах ( система координат уравнение имеет вид:

В цилиндрических координатах ( уравнение имеет вид:

К уравнению Лапласа приводят многие задачи физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки. Так, уравнение Лапласа описывает потенциал в области, не содержащей тяготеющих масс, потенциал электростатического поля – в области, не содержащей зарядов, температуру при стационарных процессах и т. д. Большое количество инженерных задач, связанных, в частности, с медленным стационарным обтеканием корпуса корабля, стационарной фильтрацией подземных вод, возникновением поля вокруг электромагнита, а также стационарного электрического поля в окрестности фарфорового изолятора или заглубленного в землю электрического кабеля переменного поперечного сечения, сводится к решению трехмерных уравнений Лапласа или Пуассона. Большое значение оператор Лапласа играет в квантовой механике.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найдите поле между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами и , разность потенциалов между которыми равна

Решение

Запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом аксиальной симметрии:

Оно имеет решение +B. Выберем нулевой потенциал на наружном цилиндре, найдем, получим:

Следовательно

Получим:

В результате имеем:

Ответ

Поле между двумя коаксиальными цилиндрами задается функцией

ПРИМЕР 2

Задание	Исследовать устойчивость равновесия положительно заряженной частицы в электрическом поле (теорема Ирншоу).
Решение	Поместим начало координат в положение равновесия частицы. При этом можно считать, что потенциал представляется в виде: