Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»

(СПбГМТУ)

Кафедра математики

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Е.С.Баранова, Н.В.Васильева

Тема 6. Дифференциальное исчисление

функций нескольких переменных

Санкт-Петербург

Е.С.Баранова, Н.В.Васильева. Математика. Тема 6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Учеб. Пособие. СПб.: Изд. Центр СПбГМТУ, 2005. с. 43.

Ил. 9 . Табл. 22 . Библиогр.: 7 назв.

Настоящее издание адресовано студентам инженерных[ специальностей для организации их самостоятельной работы. Учебное пособие разработано в виде компендиума по изучаемой дисциплине. Оно содержит тематический план, выписки из календарных планов лекций и практических занятий по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», теоретический материал по этой теме, с большим количеством разобранных типовых задач, а также контрольные вопросы по теории и вопросы для подготовки к экзамену. Для самоконтроля полученных знаний в пособие введен тест, в котором представлены тестовые задания с выбором ответа, сформулированные на основе требуемого набора знаний и умений по изучаемой теме. В конце пособия дан список рекомендуемой литературы и ответы к тесту.

Работа выполнено по заказу и при поддержке факультета целевой и контрактной подготовки специалистов СПбГМТУ.

Е.С.Баранова, Н.В.Васильева

Тема 6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Компендиум по дисциплине «Математика»

Редактор Н.Н.Катрушенко

© СПбГМТУ, 2005

1. Тематический план 2 –го семестра.

2. Выписка из календарного плана лекций.

3. Теоретический материал.

4. Контрольные вопросы по теории.

5. Вопросы для подготовки к экзамену.

6. Выписка из календарного плана практических занятий.

7. Тест по теме 6: «Дифференциальное исчисление функций

нескольких переменных».

9. Ответы к тесту.

1. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН 2–го СЕМЕСТРА

							Распределение часов
						Аудиторные занятия
	Название темы
										Самостоятельная
					аудиторных				Практические
	Дифференциальное	исчисление
	одной переменной. Часть 2.
	Дифференциальное	исчисление
	нескольких переменных.
	Интегральное исчисление функций одной
	переменной.
	Всего за 2 семестр

2. ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ЛЕКЦИЙ

6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (14 часов)

10. Метрическое n - мерное пространство. Функцияn переменных. Функция двух переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные и их геометрический смысл (2 часа).

11. Дифференцируемая функция. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Производная сложной функции n

переменных. Полная производная (2 часа).

12. Дифференциал функции n переменных. Оценка погрешностей. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных (2 часа).

13. Производные и дифференциалы высших порядков. Неявные функции.

Дифференцирование неявных функций одной и двух	переменных.
Дифференцирование неявных функций, заданных системой. (2 часа).

14. Экстремум функции двух переменных: определение, необходимое условие, достаточное условие. Экстремум функций n переменных. (2 часа).

15. Задачи на наименьшее и наибольшее значения (2 часа).

3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Таблица 2. Оглавление

1. Функции нескольких переменных.

1.1. Прямое произведение множеств, n - мерное пространствоR n

1.2. Окрестности в пространстве R n . Классификация точек. Открытые и

замкнутые

множества

1.3. Функции n переменных. Предел и непрерывность функцийn переменных.

2. Дифференцирование функций n переменных.

1.4. Частные производные функций n переменных.

2.1. Дифференцируемая функция. Условия дифференцируемости.

2.2. Производная сложной функции. Полная производная.

3. Дифференциал функций нескольких переменных.

1.5. Определение дифференциала функции нескольких переменных и его свойства.

1.6. Инвариантность формулы первого дифференциала функций нескольких переменных.

1.7. Геометрическ4ий смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

1.8. Приближенные вычисления и оценка погрешностей.

4. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

5. Производные функций нескольких переменных, заданных неявно.

5.1. Неявная функция. Дифференцируемость неявной функции. Формула для частных

производных функции двух переменных, заданной неявно.

5.2. Производная неявной функции, заданной системой уравнений. Определитель Якоби.

6. Экстремум функции нескольких переменных.

6.1. Формула Тейлора функции n переменных.

6.2. Экстремум функции двух переменных.

6.3. Экстремум функции n переменных.

6.4. Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных.

Тема «Функции нескольких переменных»

Тема 3. Функции нескольких переменных

Определение функции двух переменных, способы задания.

Частные производные.

Экстремум функции двух переменных

Градиент функции одной переменной

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области

ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ

КОНТРОЛЬНЫе вопросы

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ

1. Определение функции нескольких переменных, способы задания

Переменная величина называется функцией двух переменных величин и на множестве
, если каждой паре значений
соответствует единственное значение величины .

Символически функция двух переменных обозначается так:


и т.д.

Переменные и называются независимыми переменными или аргументами функции , а множество
- областью определения функции . Для функции двух переменных
областью определения является некоторое множество точек на плоскости
, а областью значений - промежуток на оси
.

Например, - функция двух переменных.

Для наглядного представления функции двух перемен ных применяются линии уровня .

Пример 1. Для функции
построить график и линии уровня. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку
.

Графиком линейной функции является плоскость в пространстве.

Для функции график представляет собой плоскость, проходящую через точки
,
,
.

Линиями уровня функции являются параллельные прямые, уравнение которых
.

Для линейной функции двух переменных
линии уровня задаются уравнением
и представляют собой семейство параллельных прямых на плоскости.

4

График функции 0 1 2 Х

Линии уровня функции

Частные производные

Рассмотрим функцию
. Придадим переменной в точке
произвольное приращение
, оставляя значение переменной неизменным . Соответствующее приращение функции называется частным приращением функции по переменной в точке
.

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной : .

Обозначение частной производной по: , ,
,
. Для нахождения частной производной
по переменной используются правила дифференцирования функции одной переменной, считая переменную постоянной.

Частной производной функции по переменной называется предел:

.

Обозначения: , ,
,
. Для нахождения частной производной по переменной постоянной считается переменная .

Пример 2 . Найдите значения частных производных функции в точке
.

Считая постоянной и дифференцируя , как функцию переменной , находим частную производную по :

.

Вычислим значение этой производной в точке
: .

Считая постоянной и дифференцируя , как функцию , находим частную производную по :

.

Вычислим значение производной в точке :

Пример 3 . Для функции
найти частные производные
,
и вычислить их значения в точке
.

Частная производная функции
по переменной находится в предположении, что постоянна:

Найдем частную производную функции по , считая постоянной :

Вычислим значения частных производных при
,
:

;
.

Частные производные функций нескольких переменных называют также частными производными первого порядка или первыми частными производными.

Частными производными второго порядка функции нескольких переменных называются частные производные от частных производных первого порядка, если они существуют.

Запишем для функции частные производные 2-го порядка:

;
;

;
.

;
и т.д.

Если смешанные частные производные функции нескольких переменных непрерывны в некоторой точке
, то они равны между собой в этой точке. Значит, для функции двух переменных значения смешанных частных производных не зависят от порядка дифференцирования:
.

Пример 4. Для функции найти частные производные второго порядка
и
.

Смешанная частная производная находится последовательным дифференцированием сначала функции по (считая постоянным), затем дифференцированием производной
по (считая постоянным).

Производная
находится дифференцированием сначала функции по , затем производной по .

Смешанные частные производные равны между собой:
.

Дифференцируя частные производные второго порядка как по х , так и по у , получим частные производные третьего порядка.

Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции
.

Последовательно находим

3. Экстремум функции двух переменных

Максимумом (минимумом ) функции
в точке M 0 (x 0 ,y 0) называется такое ее значение
, которое больше (меньше) всех других ее значений, принимаемых в точках
, достаточно близких к точке
и отличных от нее.

Точки максимума и минимума называют точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремальными .

Необходимые условия экстремума. Если дифференцируемая функция
имеет экстремум в точке
, то ее частные производные в этой точке равны нулю, т.е.

. Точки, в которых
и
, называются стационарными точками функции
.

Достаточные условия экстремума . Пусть является стационарной точкой функции и пусть
,
,
. Составим определитель
. Тогда:

если
, то в стационарной точке
нет экстремума;

если
, то в точке есть экстремум, причем максимум, если А < 0, минимум, если
;

если
, то требуется дополнительное исследование.

Пример 6 . Исследовать на экстремум функцию
.

Находим частные производные первого порядка:
;
Решая систему уравнений
получаем две стационарные точки:
и
. Находим частные производные второго порядка:
,
,
. Исследуем каждую стационарную точку.

4. Градиент функции двух переменных

.

Свойства градиента

Пример 7 . Дана функция
. Найти градиент функции в точке
и построить его.

Найдем координаты градиента – частные производные.

В точке
градиент равен . Начало вектора
в точке , а конец - в точке .

5

5. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области

Постановка задачи. Пусть на плоскости замкнутая ограниченная область задается системой неравенств вида
. Требуется найти в области точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения.

Важной является задача нахождения экстремума , математическая модель которой содержит линейные ограничения (уравнения, неравенства) и линейную функцию
.

Постановка задачи. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
при ограничениях

Поскольку для линейной функции нескольких переменных нет критических точек внутри области
, то оптимальное решение, доставляющее целевой функции экстремум, достигается только на границе области . Для области, заданной линейными ограничениями, точками возможного экстремума являются угловые точки . Это позволяет рассматривать решение задачи графическим методом .

Геометрическая постановка задачи. Найти в области решений системы линейных неравенств точку, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению линейной функции с двумя переменными.

Последовательность действий:

точку А «входа» линии уровня в область. Эта точка определяет точку наименьшего значения функции;

точку В «выхода» линии уровня из области. Эта точка определяет точку наибольшего значения функции.

4. Найти координаты точки А, решая систему уравнений прямых, пересекающихся в точке А, и вычислить наименьшее значение функции
. Аналогично - для точки В и наибольшего значения функции
.

Пример 8 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в области решений системы линейных неравенств

1. Построим область решений системы линейных неравенств . Для этого построим полуплоскости и найдем их пересечение. В качестве «контрольной точки» возьмем точку
, которая не принадлежит граничным прямым.

у

1

Прямая ()
- точки для построения
и
. Так как
верно, то полуплоскость обращена в сторону контрольной точки .

Прямую ()
строим по точкам
и
; неравенство
верное, полуплоскость направлена в сторону контрольной точки ..

Прямая ()
построена по точкам
и
; полуплоскость обращена в сторону контрольной точки ..

Неравенства
и
показывают, что искомая область (пересечение всех полуплоскостей) находится в первой координатной четверти.

2. Построим градиент функции - вектор с координатами
с началом в начале координат. Перпендикулярно градиенту построим одну из линий уровня .

3. Параллельным движением линии уровня в направлении градиента найдем точку «входа» линии уровня в область – это точка О(0,0). Вычислим значение функции в этой точке: .

4. Продолжая движение линии уровня в направлении градиента , найдем точку «выхода» линии уровня из области – это точка А. Для определения ее координат решим систему уравнений прямых и :
Решение системы уравнений
и
.

5. Вычислим значение функции в точке
: .

Ответ :
,
.

ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ

1. Понятие функции нескольких переменных.

2. Область определения и множество значений функции нескольких переменных.

3. Понятие линии уровня.

4. Частные производные функции нескольких переменных.

5. Частные производные высших порядков функции нескольких переменных.

6. Экстремум функции нескольких переменных.

7. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области.

КОНТРОЛЬНЫе вопросы

Понятие функции нескольких переменных. Область определения, способы задания, линии уровня функции двух переменных

Частные производные функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ

Какая из приведенных функций, является функцией зависящей от двух переменных:

a)
; б)
; в)
; г)
.

2. Для функции
частная производная по переменной равна:

a)
; б)
; в)
; г)
., в точке равна… а) 1; б) 0; в) -1; г) 4.

12. Градиентом скалярного поля в точке является вектор …

а) б)

в) г)

13. Частная производная функции по переменной в точке равна…

а) е б) 2е в) 3е г) 3

14. Максимальное значение функции при ограничениях

Равно … (впишите ответ).

15. Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:

Тогда максимальное значение функции равно…

А) 10 б) 14 в) 13 г) 11

16. Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:

Тогда максимальное значение функции равно…

А) 29 б) 31 в) 27 г) 20

17. Максимальное значение целевой функции z=x 1 +2x 2 при ограничениях равно: а) 13 б) 12 в) 8 г) 6

18. Максимальное значение функции при ограничениях равно … (впишите ответ).

функций нескольких переменных 4.1. Задачи по теме "Дифференцирование функций нескольких переменных" Задача 1. Найти и изобразить на плоскости область существования функции ... 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y), определенной...

Тема 5 функции двух переменных частные производные

Документ

Значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области 1. Определение функции нескольких переменных , способы задания Функцией двух переменных называется...

Математика часть 4 дифференциальное исчисление функций нескольких переменных дифференциальные уравнения ряды

Учебное пособие

Определяется функция нескольких переменных ? Что представляет собой график функции двух переменных ? Сформулировать определения предела функции двух переменных ...

ГЛАВА 3 Функции нескольких переменных § 1 Функции нескольких переменных Основные понятия 1 Определение функции нескольких переменных

Закон

ГЛАВА 3. Функции нескольких переменных § 1. Функции нескольких переменных . Основные понятия 1. Определение функции нескольких переменных . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть ℝ. Функция , заданная на множестве и имеющая областью...

Кафедра: Высшая математика

Реферат

по дисциплине «Высшая математика»

Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»

Тольятти, 2008

Введение

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных

Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x , y , z , …, t ), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u .

Если переменная является функцией от двух переменных х и у , то функциональную зависимость обозначают

z = f (x , y ).

Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у .

Так, для функции z = x 2 + 3xy

при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,

при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,

при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.

Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x , y , z , если дано правило, как по данной тройке значений x , y иz вычислить соответствующее значение u :

u = F (x , y , z ).

Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u , соответствующего данным значениям x , y иz .

Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz

прих = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,

прих = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,

прих = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.

Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x , y , z , …, t ) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u , то и u называется функцией от п переменных x , y , z , …, t , определенной на множестве Е , и обозначается

u = f (x , y , z , …, t ).

Переменные x , y , z , …, t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.

Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М 0(x 0, y 0, z 0, …, t 0) и обозначается f (М 0) = f (x 0, y 0, z 0, …, t 0).

Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.

Функция двух переменных z = f (x , y ) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х , у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу , соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.

Функцию трех переменных u = F (x , y , z ) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x , y , z , …, t ) рассматривают как функцию точки некоторого п -мерного пространства.

Предел функции нескольких переменных

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f (x , y ) имеет предел в точке (х 0, у 0), равный числу А , обозначаемый так:

(пишут еще f (x , y ) →А при (x , y ) → (х , у )), если она определена в некоторой окрестности точки (х , у ), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к (х , у ) последовательность точек (x k , y k ).

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х , у ) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х , у ) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

| f (x , y ) – A | < ε(3)

для всех (x , y )

0 < />< δ. (4)

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х , у ) такая, что для всех (x , y ) из этой окрестности, отличных от (х , у ), выполняется неравенство (3).

PAGE_BREAK--

Так как координаты произвольной точки (x , y ) окрестности точки (х , у ) можно записать в виде х = х + Δх , у = у + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х , у ), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ωх , ωу ) – произвольный вектор длины единица (|ω|2= ωх 2+ ωу 2= 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида

(х 0+ t ωх , y 0+ t ωу ) (0 < t )

образуют луч, выходящий из (х 0, у 0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

f (х 0+ t ωх , y 0+ t ωу ) (0 < t < δ)

от скалярной переменной t , где δ – достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной t )

/> f (х + t ωх , y + t ωу ),

f в точке (х , у ) по направлению ω.

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x , y ) за исключением точки х = 0, у = 0. Имеем (учесть, что />и />):

(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда |f (x , y ) | < ε, если />< δ).

из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид

Пример 2. Рассмотрим в R 2функцию

/> (х 4+ у 2≠ 0).

Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx , проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:

/> при х → 0.

Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х 2

Будем писать />, если функция f определена в некоторой окрестности точки (х , у ), за исключением, быть может, самой точки (х , у ) и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что

|f (x , y ) | > N ,

коль скоро 0 < />< δ.

Продолжение
--PAGE_BREAK--

Можно также говорить о пределе f , когда х , у → ∞:

А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х , у , для которых |x | > N , |y | > N , функция f определена и имеет место неравенство

|f (x , y ) – А | < ε.

Справедливы равенства

где может быть х → ∞, у → ∞. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы f и φ.

Докажем для примера (7).

Пусть (x k , y k ) → (х , у ) ((x k , y k ) ≠ (х , у )); тогда

Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (x k , y k ) стремится к (х , у ) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f (x , y ) ∙φ(x , y ) в точке (х , у ).

Теорема. если функция f (x , y ) имеет предел, не равный нулю в точке (х , у ), т.е.

то существует δ > 0 такое, что для всех х , у , удовлетворяющих неравенствам

0 < />< δ, (10)

она удовлетворяет неравенству

Поэтому для таких (x , y )

т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (x , y ) следует />откуда />при A > 0 и />при

A < 0 (сохранение знака).

По определению функция f (x ) = f (x 1, …, x n ) = A имеет предел в точке

x = />, равный числу А , обозначаемый так:

(пишут еще f (x ) → A (x → x )), если она определена на некоторой окрестности точки x , за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к x последовательность точек х k из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x .

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки x , за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

Продолжение
--PAGE_BREAK--

для всех х , удовлетворяющих неравенствам

0 < |x – x | < δ.

Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U (x ) точки x такая, что для всех х />U (x ) , х ≠ x , выполняется неравенство (13).

Очевидно, что если число А есть предел f (x ) в x , то А есть предел функции f (x 0 + h ) от h в нулевой точке:

и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию f , заданную во всех точках окрестности точки x , кроме, быть может, точки x ; пусть ω = (ω1, ..., ωп ) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x + t ω (0 < t ) образуют выходящий из x луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

/> (0 < t < δω)

от скалярной переменной t , где δωесть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t )

если он существует, естественно называть пределом f в точке x по направлению вектора ω.

Будем писать />, если функция f определена в некоторой окрестности x , за исключением, быть может, x , и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что |f (x ) | >N , коль скоро 0 < |x – x | < δ.

Можно говорить о пределе f , когда х → ∞:

Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х , для которых |x | > N , функция f определена и имеет место неравенство />.

Итак, предел функции f (x ) = f (x 1, ..., х п ) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.

Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f (M ) при М → М , если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М , отличных от М и удовлетворяющих условию |ММ | < δ, будет иметь место неравенство |f (M ) – А | < ε.

Предел обозначают />В случае функции двух переменных />

Теоремы о пределах. Если функции f 1(M ) и f 2(M ) при М → М стремятся каждая к конечному пределу, то:

Продолжение
--PAGE_BREAK--

Пример 1. Найти предел функции: />

Решение. Преобразуем предел следующим образом:

Пусть y = kx , тогда />

Пример 2. Найти предел функции: />

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом />Тогда />

Пример 3. Найти предел функции: />

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом />Тогда />

Непрерывность функции нескольких переменных

По определению функция f (x , y ) непрерывна в точке (х , у ), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х , у ) и если предел f (x , y ) в этой точке равен ее значению в ней:

Условие непрерывности f в точке (х , у ) можно записать в эквивалентной форме:

т.е. функция f непрерывна в точке (х , у ), если непрерывна функция f (х + Δх , у + Δу) от переменных Δх , Δу при Δх = Δу = 0.

Можно ввести приращение Δи функции и = f (x , y ) в точке (x , y ) , соответствующее приращениям Δх , Δу аргументов

Δи = f (х + Δх , у + Δу) – f (x , y )

и на этом языке определить непрерывность f в (x , y ) : функция f непрерывна в точке (x , y ) , если

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х , у ) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х , у ) ≠ 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x , y ) = с от переменных x , y . Она непрерывна по этим переменным, потому что

/>|f (x , y ) – f (х , у ) | = |с – с | = 0 0.

Следующими по сложности являются функции f (x , y ) = х и f (x , y ) = у . Их тоже можно рассматривать как функции от (x , y ) , и при этом они непрерывны. Например, функция f (x , y ) = х приводит в соответствие каждой точке (x , y ) число, равное х . Непрерывность этой функции в произвольной точке (x , y ) может быть доказана так:

Продолжение
--PAGE_BREAK--

/>| f (х + Δх , у + Δу) – f (x , y ) | = |f (х + Δх) – х | = | Δх | ≤ />0.

Если производить над функциями x , y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x , y . На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x , y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек (x , y ) />R 2.

Отношение P / Q двух многочленов от (x , y ) есть рациональная функция от (x , y ) , очевидно, непрерывная всюду на R 2, за исключением точек (x , y ) , где Q (x , y ) = 0.

Р (x , y ) = х 3– у 2+ х 2у – 4

может быть примером многочлена от (x , y ) третьей степени, а функция

Р (x , y ) = х 4– 2х 2у 2+у 4

есть пример многочлена от (x , y ) четвертой степени.

Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.

Теорема. Пусть функция f (x , y , z ) непрерывна в точке (x , y , z ) пространства R 3(точек (x , y , z ) ), а функции

x = φ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v)

непрерывны в точке (u , v ) пространства R 2(точек (u , v ) ). Пусть, кроме того,

x = φ (u , v ), y = ψ (u , v ), z = χ (u , v ) .

Тогда функция F (u , v ) = f [ φ (u , v ), ψ (u , v ), χ (u , v ) ] непрерывна (по

(u , v ) ) в точке (u , v ) .

Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то

Теорема. Функция f (x , y ) , непрерывная в точке (х , у ) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х , у ) в некоторой окрестности точки (х , у ).

По определению функция f (x ) = f (x 1, ..., х п ) непрерывна в точке х = (х 1, ..., х п ) , если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х , и если предел ее в точке х равен ее значению в ней:

Условие непрерывности f в точке х можно записать в эквивалентной форме:

т.е. функция f (x ) непрерывна в точке х , если непрерывна функция f (х + h ) от h в точкеh = 0.

Продолжение
--PAGE_BREAK--

Можно ввести приращение f в точке х , соответствующее приращению h = (h 1, ..., h п ) ,

Δh f (х ) = f (х + h ) – f (х )

и на его языке определить непрерывность f в х : функция f непрерывна в х , если

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х функций f (x ) и φ (x ) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х ) ≠ 0.

Замечание. Приращение Δh f (х ) называют также полным приращением функции f в точке х .

В пространстве R n точек х = (x 1, ..., х п ) зададим множество точек G .

По определению х = (х 1, ..., х п ) есть внутренняя точка множества G , если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G .

Множество G />R n называется открытым, если все его точки внутренние.

Говорят, что функции

х 1= φ1(t) , ..., х п = φп (t) (a ≤ t ≤ b)

непрерывные на отрезке [a , b ], определяют непрерывную кривую в R n , соединяющую точки х 1= (х 11, ..., х 1п ) и х 2= (х 21, ..., х 2п ) , где х 11= φ1(а) , ..., х 1п = φп (а) , х 21= φ1(b ) , ..., х 2п = φп (b ) . Букву t называют параметром кривой.

Множество G называется связным, если любые его две точки х 1, х 2можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G .

Связное открытое множество называется областью.

Теорема. Пусть функция f (x ) определена и непрерывна на R n (во всех точках R n ). Тогда множество G точек х , где она удовлетворяет неравенству

f (x ) > с (или f (x ) < с ), какова бы ни была постоянная с , есть открытое множество.

В самом деле, функция F (x ) = f (x ) – с непрерывна на R n , и множество всех точек х , где F (x ) > 0, совпадает с G . Пусть х />G , тогда существует шар

| х –х | < δ,

на котором F (x ) > 0, т.е. он принадлежит к G и точка х />G – внутренняя для G .

Случай с f (x ) < с доказывается аналогично.

Таким образом, функция нескольких переменных f (М) называется непрерывной в точке М , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

а) функция f (М) определена в точке М и вблизи этой точки;

б) существует предел />;

Если в точке М нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция в этой точке терпит разрыв. Точки разрыв могут образовывать линии разрыва, поверхность разрыва и т. д. Функция f (М) называется непрерывной в области G , если она непрерывна в каждой точке этой области.

Пример 1. Найти точки разрыва функции: z = ln (x 2+ y 2) .

Решение. Функция z = ln (x 2+ y 2) терпит разрыв в точке х = 0, у = 0. Следовательно, точка О (0, 0) является точкой разрыва.

Пример 2. Найти точки разрыва функции: />

Решение. Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. x 2+ y 2– z 2= 0. Следовательно, поверхность конуса

x 2+ y 2= z 2является поверхностью разрыва.

Заключение

Начальные сведения о пределах и непрерывности встречаются в школьном курсе математики.

В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела, впервые появившееся в 17 веке в работах Ньютона, используется и получает дальнейшее развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности величин (как постоянных, так и функций).

Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков. Это свойство функции находит широкое применение в сфере экономики.

Поэтому понятия предела и непрерывности играют важную роль в исследовании функций нескольких переменных.

Список использованной литературы

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва: Дрофа, 2004 год, 512 с.

2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 с.

3. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Политехника, 2003 год, 703 с.

4. elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html

5. www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Тест по алгебре тема «функция» 7 класс

Пройди тест и определи уровень своих знаний по теме «функция»

Задание №1 Что такое функция? Зависимость одной переменной от другой, если независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Переменная, значение которой выбирают произвольно. Область определения.

Задание № 2 В функции аргументом называют… Независимую переменную. Значение функции. Зависимую переменную. Вы набрали 0 баллов

Задание № 2 В функции аргументом называют… Независимую переменную. Значение функции. Зависимую переменную. Вы набрали 1 баллов

Задание № 3 В течение суток измеряли температуру воздуха. Укажите область определения функции. От 0 до 24. От 0 до 12. От 1 до 24. Вы набрали 0 баллов

Задание № 3 В течение суток измеряли температуру воздуха. Укажите область определения функции. От 0 до 24. От 0 до 12. От 1 до 24. Вы набрали 1 баллов

Задание № 3 В течение суток измеряли температуру воздуха. Укажите область определения функции. От 0 до 24. От 0 до 12. От 1 до 24. Вы набрали 2 баллов

Задание № 4 Функция задана формулой y=12x . Найдите значение функции, если аргумент равен 2. 24. 2. 6. Вы набрали 0 баллов

Задание № 4 Функция задана формулой y=12x . Найдите значение функции, если аргумент равен 2. . 24. 2. 6. Вы набрали 1 баллов

Задание № 4 Функция задана формулой y=12x . Найдите значение функции, если аргумент равен 2. 24. 2. 6. Вы набрали 2 баллов

Задание № 4 Функция задана формулой y=12x . Найдите значение функции, если аргумент равен 2. 24. 2. 6. Вы набрали 3 баллов

Задание № 5 Функция задана формулой y=12x . При каком значении аргумента значение функции равно 24? 2. 12. 24. Вы набрали 0 баллов

Задание № 5 Функция задана формулой y=12x . При каком значении аргумента значение функции равно 24 ? 2. 12. 24. Вы набрали 1 баллов

Задание № 5 Функция задана формулой y=12x . При каком значении аргумента значение функции равно 24 ? 2. 12. 24. Вы набрали 2 баллов

Задание № 5 Функция задана формулой y=12x . При каком значении аргумента значение функции равно 24 ? 2. 12. 24. Вы набрали 3 баллов

Задание № 5 Функция задана формулой y=12x . При каком значении аргумента значение функции равно 24 ? 2. 12. 24. Вы набрали 4 баллов

Твоя отметка «2» К сожалению, сегодня ты показал низкий уровень знаний по данной теме. Советую повторить правила. Будь уверен, у тебя всё получится!

Твоя отметка «3» Сегодня ты показал средний уровень знаний по данной теме. Советую повторить правила. Будь уверен, у тебя всё получится!

Твоя отметка «4» Твой уровень знаний по данной теме достаточно хороший.

Твоя отметка «5» Молодец! Ты показал высокий уровень знаний по данной теме. Желаю дальнейших успехов!

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Тесты по русскому языку, итоговый тест для 5 класса, тест "Выразительные средства", уроки по произведениям Воронковой и Чивилихина

Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ. Можно использовать в качестве контрольной работыТест для отработки знаний задания В8Итоговый тест для 5 классаМетодические разработки уроков по произведениям...

ЕГЭ английский Тест toefl Тест ielts CAE tests Тесты по аудированию Тесты по чтению Словарный запас Что нужно знать для успешной сдачи ЕГЭ

Тест toeflТест ieltsCAE testsТесты по аудированиюТесты по чтениюСловарный запас Что нужно знать для успешной сдачи ЕГЭЧему бы ни учился человек на протяжении всей своей жизни, его всегда бу...