Pohodlný spôsob reprezentácie logických výrazov sú logické obvody. Takto sú tri základné logické operácie znázornené v takýchto diagramoch:

Obr 6.1 - Schematické znázornenie logických operácií

Príklad. Ak chcete vyhodnotiť boolovský výraz: 1 alebo 0 a 1 nakreslite diagram znázorňujúci postupnosť logických operácií. Vypočítajte hodnotu logického výrazu podľa schémy.

Jasne ukazuje, že sa vykonáva prvá operácia a, potom alebo. Teraz, v poradí zľava doprava, pridáme výsledky operácií k odchádzajúcim šípkam:

Výsledkom je 1 , t.j. "PRAVDA".

Príklad. Vzhľadom na výraz: nie (1 a (0 alebo 1) a 1).

Vypočítajte hodnotu výrazu pomocou logického obvodu.

Riešenie. Logický diagram s výsledkami výpočtu vyzerá takto:

Implikácia a ekvivalencia

implikácia(podmienečný výrok). V ruštine táto logická operácia zodpovedá spojkám Ak potom; keď potom; len čo... vtedy atď.

Výraz začínajúci po spojkách ak, kedy, čo najskôr sa nazýva základ podmieneného príkazu.

Výraz za slovami tak potom, nazývaný dôsledok. V logických vzorcoch je operácia implikácie označená znamienkom "→". Dôsledkom je dvojitá operácia; sa píše takto: A→B.

Ekvivalencia. Analógový jazyk - spojky vtedy a len vtedy, ak; keby a len keby... Označuje sa ekvivalencia znamenie"≡" alebo "↔".

Poradie všetkých piatich logických operácií v zostupnom poradí priority je nasledovné: negácia, konjunkcia, disjunkcia, implikácia, ekvivalencia.

Konverzia booleovských výrazov

Vzorec má normálnu formu, ak neobsahuje znaky ekvivalencie, implikáciu, dvojitú negáciu, zatiaľ čo znaky negácie sa nachádzajú iba v premenných.

Základné vzorce na prevod logických výrazov:

2. (A & B) ≡ A AT.

3. (A C) ≡ A & B.

4. (A → B) ≡A & B.

5. A→B ≡ A b.

6. A ↔ B ≡ (A a B) (A a B) ≡ (A B) a (A B).

7. A & (A B) ≡ A.

8. A A a B ≡ A.

9. A & (A C) ≡ A & B.

10. A A a B ≡ A AT.

11. Zákony komutatívnosti:

A & B = B & A;

ALE B ≡ B ALE.

12. Zákony asociativity:

(A b) C ≡ A (AT OD);

(A & B) & C ≡ A & (B & C).

13. Zákony idempotencie:

ALE A = A;

14. Zákony distributivity:

A & (B C) ≡ (A a B) (A & C);

ALE (B a C) ≡ (A B) a (A OD).

15. A 1 ≡ 1;

16. A & 1 = A;

17. A A = 1;

18. A & 0 = 0;

19. A & A ≡ 0.

6.3. Zadanie na laboratórnu prácu

Zadania sú rozdelené v závislosti od učiteľa mn-kód. Ak je m nepárne číslo, potom je vaša možnosť 1, ak je párna - možnosť 2.

Cvičenie 1. Pomocou logických operácií zapíšte tvrdenia, ktoré sú pravdivé za nasledujúcich podmienok:

Možnosť 1.

1) aspoň jedno z čísel X, Y, Z je kladné;

2) iba jedno z čísel X, Y, Z nie je kladné.

3) iba jedno z čísel X, Y, Z je väčšie ako 10

4) žiadne z čísel X, Y, Z sa nerovná 104

Možnosť 2.

1) aspoň jedno z čísel X, Y, Z je záporné;

2) iba jedno z čísel X, Y, Z je záporné.

3) iba jedno z čísel X, Y, Z nie je väčšie ako 10

4) každé z čísel X, Y, Z sa rovná 0

Úloha 2. Určte hodnotu boolovského výrazu nie (X>Z) ine (X=Y), ak:

Možnosť 1.

1) X = 3, Y = 5, Z = 2;

2) X = 5, Y = 0, Z = -8.

Možnosť 2.

1) X=9, Y=-9, Z=9;

2) X = 0, Y = 1, Z = 19.

Úloha 3. Nech a, b, c sú logické hodnoty, ktoré majú nasledujúce hodnoty: a = pravda, b= Nepravdivé, c = pravda. Nakreslite logické diagramy pre nasledujúce logické výrazy a vypočítajte ich hodnoty:

Možnosť 1.

1) a a b;

2) nie a alebo b;

3) a alebo b a S;

4) (a alebo b) a(c alebo b).

Možnosť 2.

1) a alebo b;

2) a a b alebo S;

3) nie a alebo b a S;

4) nie(a a b a S).

Úloha 4. Zostavte logické obvody pomocou logického výrazu:

Možnosť 1. x 1 a (nie x2 alebo x 3).

Možnosť 2x1 a x2 Alebo nie x 1 a x 3.

Úloha 5. Vykonajte logické výpočty. Napíšte vhodné logické výrazy:

Možnosť 1. Možnosť 2.

Úloha 6. Logická schéma je daná. Zostrojte logický výraz zodpovedajúci tejto schéme.

Vypočítajte hodnotu výrazu pre:

Možnosť 1.

1) x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 1;

2) x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 1.

Možnosť 2.

1) x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 0;

2) x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Úloha 7. Logická schéma je daná. Zostrojte pravdivostnú tabuľku pre daný obvod.

Úloha 8. Určite pravdivosť vzorca:

Možnosť 1. (a) .

Možnosť 2.

Úloha 9. Zjednodušte výraz:

Možnosť 1. .

Možnosť 2. .

6.4. Požiadavky na obsah správy

1. Účel laboratórnej práce.

2. Úloha na laboratórnu prácu. Mn - kód.

3. Výsledky riešenia úloh vlastnej verzie.

4. Závery o získaných výsledkoch.

6.5. testovacie otázky

1. Čo je to logický výrok, konštanta, premenná, vzorec?

2. Aké typy logických operácií sa berú do úvahy v laboratórnej práci?

3. Pravdivé tabuľky pre implikáciu a ekvivalenciu?

4. Vymenujte zákony algebry logiky?


Laboratórium č. 7
"NUMULAČNÉ SYSTÉMY"

7.1. Cieľ

Štúdium číselných sústav. Získanie prekladateľských zručností z jedného číselného systému do druhého

7.2. Smernice

rozšírená forma písanie čísla sa nazýva písanie v tvare:

A q \u003d ± (a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 0 q 0 + a -1 q -1 + a -2 q -2 + ... + a-mq-m).

Tu A q je samotné číslo, q je základ číselnej sústavy a i sú číslice tejto číselnej sústavy, n je počet číslic celej časti čísla, m je počet číslic zlomkovej sústavy. časť čísla.

Príklad. Získajte rozšírenú formu desatinných čísel 32478; 26,387.

32478 10 = 3*10000 + 2*1000 + 4*100 + 7*10 + 8 = 3*10 4 + 2*10 3 + 4*10 2 + 7*10 1 + 8*10 0 .

26,387 10 = 2*10 1 + 6*10 0 + 3*10 -1 + 8*10 -2 + 7*10 -3 .

Príklad. Získajte rozšírenú formu čísel 112 3 , 101101 2 , 15FC 16 , 101,11 2

112 3 =1*10 2 + 1*10 1 + 2*10 0 .

1011012 = 1*10 101 + 0*10 100 + 1*10 11 + 1*10 10 + 0*10 1 + 1*10 0 .

15FC 16 \u003d 1 * 10 3 + 5 * 10 2 + F * 10 1 + C.

101,11 2 = 1*10 10 + 0*10 1 + 1*10 0 + 1*10 -1 + 1*10 -10 .

Ak sú všetky členy v rozšírenej forme nedesiatkového čísla uvedené v desiatkovej sústave a výsledný výraz sa vypočíta podľa pravidiel desiatkovej aritmetiky, získa sa číslo v desiatkovej sústave, ktoré sa rovná uvedenému. Podľa tohto princípu sa vykonáva prevod z nedesiatkovej sústavy na desiatkovú.

Príklad. Preveďte všetky čísla z predchádzajúceho príkladu na desatinné.

112 3 =1*3 2 + 1*3 1 + 2*3 0 = 9+3+2 = 14 10 .

101101 2 = 1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 =32+8+4+1 = 45 10 ,

15FC 16 \u003d 1 * 16 3 + 5 * 16 2 + 15 * 16 1 + 12 \u003d 4096 + 1280 + 240 + 12 \u003d 5628 10.

101,11 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 + 1*2 –1 + 12 -2 = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75 10 .

Pri budovaní jednotlivých počítačových uzlov je často potrebné riešiť problém konštrukcie funkčných logických obvodov pre dané funkcie. Na to stačí súhlasiť s tým, že pravdivé tvrdenie zodpovedá skutočnosti, že obvod vedie prúd, a nepravdivé tvrdenie znamená, že obvod je prerušený.

Logické operácie konjunkcie, disjunkcie, inverzie sú realizované v počítači pomocou nasledujúcich elementárnych obvodov.

Konjunkcia - logický prvok "a":

Tento prvok vykonáva operáciu logického násobenia (spojenie): f = x 1 Ù x 2 Ùx 3 Ù…Ùx n ; a má n vstupov a jeden výstup.

Disjunkcia - logický prvok "alebo":

Tento prvok vykonáva operáciu logického sčítania (disjunkcie): f = x 1 Ú x 2 Úx 3 Ú…Úx n ; a má n vstupov a jeden výstup.

Inverzia - logický prvok "nie":

Tento prvok vykoná operáciu logickej negácie (inverzie): f = ; a má jeden vstup a jeden výstup.

Komplexné funkčné obvody je možné zostrojiť zo základných logických prvkov pomocou základných zákonov Booleovej algebry

Príklad kontrolnej úlohy

Cvičenie:

Daná funkcia,

1. Zostavte funkčnú logickú schému pre túto funkciu.

2. Zjednodušte logickú funkciu (pomocou zákonov Booleovej algebry) a otestujte transformáciu pomocou pravdivostnej tabuľky.

3. Zostavte funkčný logický diagram pre zjednodušenú funkciu.

Výkon:

1. Zostavte pravdivostnú tabuľku pre danú funkciu:

X r

2. Urobme funkčný logický diagram pre danú funkciu:

3. Zjednodušte danú funkciu pomocou zákonov Booleovej algebry:

a) podľa de Morganovho zákona - 9

b) podľa zákona idempotencie - 13

c) zákon negácie negácie - 1

d) zákon distribúcie - 6

e) vlastnosti 1 a 0 - 19

f) vlastnosti 1 a 0 - 16

Takže zjednodušená funkcia je:

4. Urobme pravdivostnú tabuľku pre zjednodušenú funkciu:

X r

Porovnaním pravdivostných tabuliek pre pôvodné a zjednodušené funkcie (ich posledné stĺpce) sme teda dospeli k záveru, že transformácie boli správne.

5. Urobme funkčný logický diagram pre zjednodušenú funkciu:

Úloha na vykonávanie kontrolných prác

Funkcia f(x,y) je daná, číslo funkcie v tabuľke zodpovedá poradovému číslu študenta v zozname.

4. Zostavte funkčnú logickú schému pre túto funkciu.

5. Zjednodušte logickú funkciu (pomocou zákonov Booleovej algebry) a otestujte transformáciu pomocou pravdivostnej tabuľky.

Logická funkcia v počítači zodpovedá okruhu brán. Tento princíp dáva prístup k zostaveniu počítača:

    Vytvoríme logickú funkciu, ktorá popisuje transformáciu pôvodných binárnych kódov na požadovaný výsledok.

    Výsledná funkcia je zjednodušená pomocou zákonov algebry logiky.

    Nakoniec výslednú funkciu zapíšeme vo forme obvodu brán.

    Hradlový obvod je realizovaný na fyzickej úrovni z elektronických prvkov.

Poďme priniesť príklad realizácie 3. etapy. Daná funkcia

Získajte logický diagram funkcie.

Vytváranie logickej schémy by sa malo začať s prihliadnutím na prioritu operácií (pozri str. "Definícia logickej (booleovskej) funkcie"), ako aj zátvorky, ktoré menia poradie operácií. Ako viete, operácie v zátvorkách (ak nejaké sú) majú najvyššiu prioritu, potom operácia inverzie (negácie). Preto pre danú funkciu musíte najprv vytvoriť prvky
a a potom prvok
. Ďalej môžete pridať výsledné prvky (
a
) a nakoniec k výslednej sume pripočítajte premennú a. Výsledkom je nasledujúca schéma (obr. 5):

Ryža. 5. Schéma implementácie funkcie (vzorec (28))

Je možné riešiť aj inverznú úlohu, keď je daný logický obvod, je potrebné získať logickú funkciu. Napríklad na obr. 6 je logická schéma. Na to je potrebné napísať logickú funkciu.

Ryža. 6. Schéma realizácie funkcie f ( X , r , z )

Od vstupných premenných zapisujeme postupne pre každé hradlo jeho logickú operáciu na jeho vstupné premenné v smere šípok. Potom na výstupe obvodu dostaneme výsledok - funkciu. Pri zaznamenávaní operácií treba pamätať na to, že skôr vykonané operácie majú vyššiu prioritu, ktorá je určená buď samotnou operáciou, alebo je označená zátvorkami.

Takže pre obvod na obrázku 6 sa najprv vykonajú tri operácie: x∙y, a . Potom operácia prevrátenia súčtu:
, potom ďalšia operácia logického sčítania výsledkov predchádzajúcich operácií:
. Operácia prevrátenia výsledku logického násobenia sa vykoná ako posledná:
. Požadovaná funkcia má teda tvar.

Príklad riešenia logických úloh pomocou algebry logiky

Logika

Logický diagram- toto je schematické znázornenie zariadenia pozostávajúceho zo spínačov a vodičov, ktoré ich spájajú, ako aj zo vstupov a výstupov, do ktorých je privádzaný a odvádzaný elektrický signál.

Každý prepínač má iba dva stavy: ZATVORENÉ a OTVORENÉ. Spínač X priradíme logickej premennej x, ktorá nadobúda hodnotu 1 práve vtedy, ak je spínač X zopnutý a obvodom vedie prúd; ak je spínač otvorený, potom x je nula.

Tieto dve schémy sú tzv ekvivalent , ak prúd preteká jedným z nich práve vtedy, ak prechádza druhým (pre rovnaký vstupný signál).

Z dvoch ekvivalentných obvodov je jednoduchší obvod, ktorého funkcia vedenia obsahuje menší počet logických operácií alebo spínačov.

Pri zvažovaní spínacích obvodov vznikajú dva hlavné problémy: syntéza a analýza schémy.

SYNTÉZA SCHÉMY podľa daných podmienok jej fungovania je redukovaná na tieto tri etapy:

  1. zostavenie funkcie vodivosti podľa pravdivostnej tabuľky, odrážajúcej tieto podmienky;
  2. zjednodušenie tejto funkcie;
  3. vytvorenie vhodnej schémy.

ANALÝZA SCHÉM sa scvrkáva na:

  1. určenie hodnôt jeho vodivosti pre všetky možné súbory premenných zahrnutých v tejto funkcii.
  2. získanie zjednodušeného vzorca.

Úloha: Vytvorte pravdivostnú tabuľku pre daný vzorec: (x ~ z) | ((x y) ~ (y z)).

Riešenie: Do pravdivostnej tabuľky tohto vzorca je užitočné zahrnúť pravdivostné tabuľky medziľahlých funkcií:

xyz x ~ z x y yz (x y) ~ (y z) (x~ z)|((x y) ~ (yz)

Návod na realizáciu praktickej úlohy č.2. "Algebra logiky". Konštrukcia pravdivostných tabuliek.

Cieľ: Oboznámte sa so základnými aritmetickými operáciami, základnými logickými prvkami (AND, AND-NOT, OR, OR-NOT, výhradné OR) a naštudujte si metódy na zostavovanie pravdivostných tabuliek na ich základe.

Cvičenie:

1. V prílohe 2 vyberte možnosť úlohy a napíšte pravdivostná tabuľka .

2. Dokončite úlohu na príklade riešenia logických úloh pomocou algebry logiky.

Úloha:

Zostavte logický obvod podľa daného boolovského výrazu:



F = `BA + B`A + C`B.

Riešenie:

Konštrukcia a výpočet akéhokoľvek obvodu sa spravidla vykonáva od jeho výstupu.

Prvé štádium: logické sčítanie, vykoná sa logická operácia OR, berúc do úvahy vstupné premenné funkcie `B A, B`A a C`B:

Druhá fáza: na vstupy prvku OR sú pripojené logické prvky AND, ktorých vstupné premenné sú už A, B, C a ich inverzie:

Tretia etapa: na získanie inverzií `A a `B sa invertory umiestnia na príslušné vstupy:

Táto konštrukcia je založená na ďalšia funkcia, - keďže hodnoty logických funkcií môžu byť iba nuly a jednotky, potom môžu byť akékoľvek logické funkcie reprezentované ako argumenty iných zložitejších funkcií. Konštrukcia logického obvodu sa teda uskutočňuje od výstupu po vstup.

Návod na realizáciu praktickej úlohy č.3. "Algebra logiky". Budovanie logických obvodov

Cieľ: Oboznámte sa so základnými aritmetickými operáciami, základnými logickými prvkami (AND, AND-NOT, OR, OR-NOT, výhradné OR) a naštudujte si metódy na zostavovanie jednoduchých logických obvodov na ich základe.

Cvičenie:

1. V prílohe 2 vyberte voľbu úlohy a zostavte logický diagram .

2. Dokončite úlohu na príklade zostavenia logických obvodov.

3. Doplňte prácu do zošita na praktickú prácu.

4. Výsledok práce prezentujte učiteľovi.

5. Chrániť prácu vykonanú učiteľom.

Príloha 2. Tabuľka možností úloh

Vytvorte pravdivostnú tabuľku a logický diagram pre tieto operácie
Možnosť Operácie

4. Individuálna úloha. Modul 1

Úlohy pre IDZ:

  1. V prílohe 3 vyberte možnosť individuálnej úlohy.
  2. Dokončite úlohu pomocou teoretické informácie
  3. Skontrolujte logický obvod s tútorom.
  4. IDZ vystaviť vo formáte A4, titulný list podľa vzoru Príloha 4.
  5. Výsledok práce prezentujte učiteľovi.
  6. Chráňte prácu vykonanú učiteľom.

Príloha 3. Tabuľka možností pre jednotlivú úlohu

možnosti Vytvorte pravdivostnú tabuľku a logický obvod pomocou vzorcov

Príloha 4. Titulná strana IPD

Zhrnutie lekcie
"Konštrukcia logických obvodov pomocou základných logických prvkov"

10. ročník

Typ lekcie: prednáška, samostatná práca.

Vybavenie: projektor, karty úloh.

Formy práce: kolektívne, individuálne.

Trvanie lekcie: 45 min.

Ciele lekcie:

Vzdelávacie:

    naučiť sa zostavovať logické obvody pre logické funkcie pomocou základných logických prvkov;

    naučiť sa vypisovať zodpovedajúcu logickú funkciu z logického obvodu.

Vzdelávacie:

    vštepovanie zručností samostatnosti v práci, výchova k presnosti, disciplíne.

vyvíja sa:

    rozvoj pozornosti, myslenia, pamäti žiakov.

Počas tried:

1. Organizačný moment (1 min).
2. Kontrola pokrytého materiálu (5 min).

predný prieskum.

    Uveďte základné logické operácie.

    Čo je logické násobenie?

    Čo je to logické sčítanie?

    Čo je to inverzia?

    Čo je to pravdivá tabuľka?

    Čo je to sčítačka?

    Čo je polovičná sčítačka?

3. Učenie sa nového materiálu (20 min).

Diskrétny prevodník, ktorý po spracovaní vstupných binárnych signálov vydá signál, ktorý je hodnotou niektorej z logických operácií, sa nazýva logický prvok.
Keďže každá logická operácia môže byť reprezentovaná ako kombinácia troch hlavných, akékoľvek počítačové zariadenia, ktoré spracúvajú alebo uchovávajú informácie, môžu byť zostavené zo základných logických prvkov, akoby z „kočiek“.
Logické prvky počítača pracujú so signálmi, ktorými sú elektrické impulzy. Existuje impulz - logický význam signálu je 1, neexistuje žiadny impulz - 0. Signály-hodnoty argumentov prichádzajú na vstupy logického prvku, na výstupe sa objavuje signálna hodnota funkcie.
Transformácia signálu logickým prvkom je daná tabuľkou stavov, čo je vlastne pravdivostná tabuľka zodpovedajúca logickej funkcii.
Doska obsahuje symboly (diagramy) základných logických prvkov, ktoré realizujú logické násobenie (spojka), logické sčítanie (disjunktor) a negáciu (invertor).

Logický prvok "AND":

Logický prvok "OR":

Logický prvok „NIE“:

Počítačové zariadenia (prídavné zariadenia v procesore, pamäťové bunky v Náhodný vstup do pamäťe atď.) sú postavené na základných logických prvkoch.

Príklad 1 zostaviť logický diagram.

Naša konštrukcia okruhu začneme logickou operáciou, ktorá musí byť vykonaná ako posledná. V našom prípade je takáto operácia logickým sčítaním, preto musí byť na výstupe logického obvodu disjunktor. Signály do nej budú privádzané z dvoch konjunktorov, do ktorých je zasa jeden vstupný signál normálny a jeden invertovaný (z meničov).

Príklad 2 Vypíšte z logického obvodu zodpovedajúci logický vzorec:

Riešenie:

4. Konsolidácia nového materiálu (15 min).

Na upevnenie učiva dostávajú študenti karty pre dve možnosti samostatnej práce.

Možnosť 1.


Riešenie:

Riešenie:

Možnosť 2.

1. Podľa danej logickej funkciezostrojte logický obvod a pravdivostnú tabuľku.
Riešenie:

2. Vypíšte z logického obvodu zodpovedajúci logický vzorec:

Riešenie:

5. Vyhlásenie domácej úlohy. (3 min).

Podľa danej logickej funkciezostrojte logický obvod a pravdivostnú tabuľku.

6. Zhrnutie lekcie. (1 minúta).

Analyzujte, zhodnoťte úspešnosť dosiahnutia cieľa a načrtnite perspektívu do budúcnosti. Hodnotenie práce triedy a jednotlivých žiakov, zdôvodnenie známkovania, komentáre k hodine.

Literatúra, alebo:

    Informatika a informačné technológie. Učebnica pre ročníky 10-11, N. D. Ugrinovich - 2007;

    Workshop o informatike a informačné technológie. Návod pre vzdelávacie inštitúcie, N. D. Ugrinovič, L. L. Bosova, N. I. Mikhailova - 2007.